MATEMATICA - El teorema de Pitágoras y sus aplicaciones
DEMOSTRACION DEL TEOREMA
Uno de los teoremas más célebres fundamentales de toda la Matemática es sin duda el
llamado por antonomasia teorema de Pitágoras.
En los Elementos de Euclides figura al final del primero de los 13 libros, como proposición
47. Las 46 proposiciones previas eran necesarias para la demostración de este teorema, pero
se pueden dar demostraciones más breves utilizando áreas de cuadrados y rectángulos. He
aquí la más sencilla de todas:
Dado el triángulo rectángulo T de catetos b, c e hipotenusa a, sean A, B, C los cuadrados
construidos sobre a, b, c: con cuatro triángulos iguales a T y el cuadrado A formamos un
cuadrado.
(Nótese que al ajustar los triángulos alrededor del cuadrado A, los ángulos en cada vértice
suman dos rectos, uno del cuadrado y otro como suma de ángulos complementarios.)
Esos mismos cuatro triángulos T, con los cuadrados B y C, componen otro cuadrado:
Pero los dos cuadrados así formados son iguales, pues tienen lado b + c; por tanto tenemos
la equivalencia
A + 4T = B + C + 4T
O sea:
A = B + C
Llegamos así al famoso teorema:
El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la
suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Expresando que el área a² del primero es igual a la suma de las áreas b² y c² de los otros dos,
se obtiene esta relación:
a² = b² + c²
Descubierta por Pitágoras, hace alrededor de 2 500 años.
