MATEMATICA - Geometría no euclidiana elemental
HISTORIA DEL PROBLEMA
Durante siglos intentaron sin éxito los geómetras demostrar el postulado de Euclides como
consecuencia de los otros postulados, mientras que otros investigadores se propusieron
demostrar el teorema de la suma de los ángulos de un triángulo, cuestión equivalente; he
aquí una "demostración intuitiva" a modo de ejemplo:
Colóquese una regla PQ sobre el lado AC; haciéndola girar, el ángulo A coincidirá con AB
(posición P1Q1); girando el ángulo B, caerá sobre BC (posición P2Q2) y un tercer giro de
amplitud C la lleva a P3Q3. El giro total ha sido un ángulo llano, pues la regla viene a
coincidir con la posición inicial pero invertida; luego A + B + C = 2R. (Hemos sumado
ángulos de distinto vértice, admitiendo que el ángulo total o sea el exterior a C es la suma de
A + B, y esto equivale a suponer A + B + C = 2R, es decir, precisamente lo que deseábamos
demostrar.)
Tales fracasos hicieron sospechar la imposibilidad de la demostración lógica, es decir, la
independencia de ese postulado, que bien podría negarse sin llegar a contradicción con los
anteriores. Muchos siglos fueron necesarios para que idea tan simple penetrara en las
rutinarias mentes educadas en la Geometría de Euclides; pero en el siglo XIX el alemán
Gauss, el ruso Lobatchevski y el húngaro Bolyai (h.) triunfaron sobre sí mismos, y después,
tras larga lucha, sobre sus contemporáneos. Gauss no se atrevió siquiera a publicar nada
"por temor a los clamores de los beocios".
Educados hoy de otro modo, parece muy natural la "revolucionaria" geometría no
euclidiana, pero comprendemos aquella encarnizada oposición, como la que encontró el
sistema copernicano, pues ambos desafían el testimonio de nuestros sentidos; pero la batalla
contra Euclides duró 400 años más que la dada contra Tolomeo.
Sin embargo, en justicia habría que proclamar a Euclides como el "primer geómetra no
euclidiano", pues su famoso Postulado V lo posterga cuanto puede, demostrando sin él
todos los teoremas que no lo necesitan, es decir elaborando un cuerpo de doctrina que hoy
llamaríamos "geometría absoluta", esto es, independiente del Postulado V.
